Matematika Diskrit - Hukum Hukum pada Aljabar Boolean untuk Penyederhanaan PersamaanAlehandrew Michael, Program Studi Teknik Informatika, Universitas Pembangunan Jaya

Pendahuluan

      Aljabar Boolean adalah struktur aljabar yang "mencakup intisari" operasi logika AND, OR, NOR, dan NAND, dan juga teori himpunan untuk operasi union, interseksi dan komplemen. Penamaan Aljabar Boolean sendiri berasal dari nama seorang matematikawan asal Inggris, bernama George Boole. Dialah yang pertama kali mendefinisikan istilah itu sebagai bagian dari sistem logika pada pertengahan abad ke-19. Boolean adalah suatu tipe data yang hanya mempunyai dua nilai. Yaitu true atau false (benar atau salah). Pada beberapa bahasa pemrograman nilai true bisa digantikan 1 dan nilai false digantikan 0. Berikut di bawah ini terdapat 6 dari 10 hukum pada Aljabar Boolean yaitu Hukum Identitas, Hukum Idempoten, Hukum Kompleten, Hukum Dominasi, Hukum Involusi, dan Hukum Penyerapan. Mari kita bahas bersama-sama untuk penambangan ilmu pada Aljabar Boolean ini.

1. Hukum Identitas

Hukum Identitas adalah salah satu hukum yang ada pada Aljabar Boolean yang dapat dinotasikan dengan A + 0 = A dan A . I = A. Mari kita buktikan dengan tabel dibawah ini.
1.A. Bukti bahwa A + 0 = A terlihat pada tabel dibawah ini

Tabel 1.A.   A + 0 = A

A	A + 0
1	1 + 0 = 1
0	0 + 0 = 0

Pada tabel diatas terlihat bahwa 1 + 0 sama dengan 1 dan 0 + 0 sama dengan 0 dalam pembuktian Hukum Identitas A + 0 = A.
1.B. Bukti bahwa A . 1 = A terlihat pada tabel dibawah ini

Tabel 1.B.   A . 1 = A

A	A . 1
1	1 . 1 = 1
0	0 . 1 = 0

Pada tabel diatas terlihat bahwa 1 . 1 sama dengan 1 dan 0 . 1 sama dengan 0 dalam pembuktian Hukum Identitas A . 1 = A.

2. Hukum Idempoten

Hukum Idempoten adalah salah satu hukum pada Aljabar Boolean yang akan dijabarkan dinomor 2 ini, Hukum Idempoten dapat dinotasikan dengan A + A = A dan A . A = A. Mari kita buktikan dengan tabel dibawah ini.
2.A. Bukti bahwa A + A = A terlihat pada tabel dibawah ini

Tabel 2.A.   A + A = A

A	A + A
1	1 + 1 = 1
0	0 + 0 = 0

Pada tabel diatas terlihat bahwa 1 + 1 sama dengan 1 dan 0 + 0 sama dengan 0 dalam pembuktian Hukum Idempoten A + A = A.
2.B. Bukti bahwa A . A = A terlihat pada tabel dibawah ini

Tabel 2.B.   A . A = A

A	A . A
1	1 . 1 = 1
0	0 . 0 = 0

Pada tabel diatas terlihat bahwa 1 . 1 sama dengan 1 dan 0 . 0 sama dengan 0 dalam pembuktian Hukum Identitas A . A = A.

3. Hukum Kompleten

Hukum Kompleten juga merupakan salah satu hukum pada Aljabar Boolean yang akan dijabarkan dinomor 3 ini, Hukum Kompleten dapat dinotasikan dengan A + A' = 1 dan A . A' = 0. Mari kita buktikan dengan tabel dibawah ini.
3.A. Bukti bahwa A + A' = 1 terlihat pada tabel dibawah ini

Tabel 3.A.   A + A' = 1

A	A + A'
1	1 + 0 = 1
0	0 + 1 = 0

Pada tabel diatas terlihat bahwa 1 + 0 sama dengan 1 dan 0 + 1 sama dengan 0 dalam pembuktian Hukum Kompleten A + A' = 1.
3.B. Bukti bahwa A . A' = 0 terlihat pada tabel dibawah ini

Tabel 3.B.   A . A' = 0

A	A . A'
1	1 . 0 = 0
0	0 . 1 = 0

Pada tabel diatas terlihat bahwa 1 . 0 sama dengan 0 dan 0 . 1 sama dengan 0 dalam pembuktian Hukum Kompleten A . A' = 0.

4. Hukum Dominasi

Hukum Dominasi merupakan salah satu hukum pada Aljabar Boolean yang akan dijabarkan dinomor 4 ini, Hukum Dominasi dapat dinotasikan dengan A . 0 = 0 dan A + 1 = 1. Mari kita buktikan dengan tabel dibawah ini.
4.A. Bukti bahwa A + A' = 1 terlihat pada tabel dibawah ini

Tabel 4.A.   A + A' = 1

A	A . 0
1	1 . 0 = 0
0	0 . 1 = 0

Pada tabel diatas terlihat bahwa 1 . 0 sama dengan 0 dan 0 . 1 sama dengan 0 dalam pembuktian Hukum Dominasi A + A' = 1.
4.B. Bukti bahwa A + 1 = 1 terlihat pada tabel dibawah ini

Tabel 4.B.   A . 1 = 1

A	A + 1
1	1 + 1 = 1
0	0 + 1 = 0

Pada tabel diatas terlihat bahwa 1 + 1 sama dengan 1 dan 0 + 1 sama dengan 0 dalam pembuktian Hukum Dominasi A + 1 = 1.

5. Hukum Involusi

Hukum Involusi merupakan salah satu hukum pada Aljabar Boolean yang akan dijabarkan dinomor 5 ini, Hukum Involusi dapat dinotasikan dengan A" = A. Mari kita buktikan dengan tabel dibawah ini.
Bukti bahwa A" = A terlihat pada tabel dibawah ini

Tabel nomor.5   A" = A

A	A'	A"
1	0	1
0	1	0

Pada tabel diatas terlihat bahwa pertama A sama dengan 1, A' sama dengan 0, dan A" sama dengan 1. Lalu kedua A sama dengan 0, A' sama dengan 1, dan A" sama dengan 0 dalam pembuktian Hukum Involusi A" = A.

6. Hukum Penyerapan

Hukum Penyerapan merupakan salah satu hukum pada Aljabar Boolean yang akan dijabarkan dinomor 6 ini, Hukum Penyerapan dapat dinotasikan dengan A + AB = A dan A (A + B) = A. Mari kita buktikan dengan tabel dibawah ini.
6.A. Bukti bahwa A + AB = A terlihat pada tabel dibawah ini

Tabel 6.A.   A + AB = A

A	B	A . B	A + AB
0	0	0 . 0 = 0	0 + 0 = 0
0	1	0 . 1 = 0	0 + 0 = 0
1	0	1 . 0 = 0	1 + 0 = 1
1	1	1 . 1 = 1	1 + 1 = 1

Pada tabel diatas terlihat bahwa nilai pada kolom ke-4 sama dengan nilai pada kolom pertama hal ini menunjukan bahwa A + AB = A.
6.B. Bukti bahwa A (A + B) = A terlihat pada tabel dibawah ini

Tabel 6.B.   A (A + B) = A

A	B	A + B	A (A + B)
0	0	0 + 0 = 0	0 . 0 = 0
0	1	0 + 1 = 1	0 . 1 = 0
1	0	1 + 0 = 1	1 . 1 = 1
1	1	1 + 1 = 1	1 . 1 = 1

Pada tabel diatas terlihat bahwa nilai pada kolom ke-4 sama dengan nilai pada kolom pertama hal ini menunjukan bahwa A (A + B) = A.